Tính phản xạ Không_gian_Hilbert

(Reflexivity)

Một tính chất quan trọng của bất kì không gian Hilbert nào là tính phản xạ. Thật ra, có nhiều thứ hơn cũng đúng: người ta có một miêu tả hoàn toàn và tiện dụng của không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp) của nó (không gian của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian H vào trường số nền), mà bản thân nó cũng là một không gian Hilbert. Thật vậy, định lý biểu diễn Riesz phát biểu rằng mỗi phần tử φ của không gian dual H' có một và chỉ một u trong H sao cho

ϕ ( x ) = ⟨ u , x ⟩ {\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle }

với mọi x trong H và sự liên hệ φ ↔ u cung cấp một phép đồng phôi (isomorphism) giữa H và H'.